Distribución normal

En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss, distribución gaussiana o distribución de Laplace-Gauss, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece en estadística y en la teoría de probabilidades.​

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. ​Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.

La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.​ Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.

En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.

Parámetros	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} \,\!}$ ${\displaystyle \sigma >0\,\!}$
Dominio	${\displaystyle x\in \mathbb {R} \,\!}$
Función de densidad (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\!}$
Función de distribución (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]}$
Media	${\displaystyle \mu \,\!}$
Mediana	${\displaystyle \mu \,\!}$
Moda	${\displaystyle \mu \,\!}$
Varianza	${\displaystyle \sigma ^{2}\,\!}$
Coeficiente de simetría	0
Curtosis	0
Entropía	${\displaystyle \ln \left(\sigma {\sqrt {2\,\pi \,e}}\right)\,\!}$
Función generadora de momentos (mgf)	${\displaystyle M_{X}(t)=e^{\mu \,t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$
Función característica	${\displaystyle \chi _{X}(t)=e^{\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}\,\!}$

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\mu ,\sigma ^{2}}(x)&{}=\int _{-\infty }^{x}\varphi _{\mu ,\sigma ^{2}}(u)\,du\\&{}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,du,\quad x\in \mathbb {R} .\\\end{aligned}}}$

donde:

• ${\displaystyle \mu }$ es la media (también puede ser la mediana, la moda o el valor esperado, según aplique)
• ${\displaystyle \sigma }$ es la desviación típica [estándar es un anglicismo]
• ${\displaystyle \sigma ^{2}}$es la varianza
• ${\displaystyle \varphi }$ representa la función de densidad de probabilidad